편미분

편미분

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편미분이란 두 개 이상의 변수가 있는 식에서, 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 , 또는 , f_x와 같이 나타낸다. 여기에서 는 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

[편집] 예

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

;

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

[편집] 정의

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 U가 열린 집합이고 Rⁿ의 부분집합이고, 함수 f가 f : U → R라고 하자. a = (a₁, ..., a_n) ∈ U인 원소 a에 대해, i번째 변수 x_i의 편미분은 다음과 같이 정의된다.

[편집] 표기법

만약 f가 독립적인 변수 x,y,z에 대한 함수라고 하면, f를 x로 편미분한 식은 다음과 같다.

이 식을 x로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

이때 f_x를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%B8%EB%AF%B8%EB%B6%84’

분류: 다변수 미적분학